2010/02/24 (Wed) ややっこっしい交互作用の誤差項の話

単純主効果の検定の誤差項について教えてという依頼があったのでちょみっと勉強してみるの巻。

はいおさらい。

Q.単純主効果とはなんぞや？

A.２要因以上の分散分析で、交互作用が出たときに、とある要因の水準ごとに、他の要因の効果を調べる効果。
（道具的な定義ね。原理的な話は管轄外なのでしません。てゆかできません）
ちなみに命名は、「他の要因」のほうになる。
（つまり、要因Aと要因Bの２要因分散分析だったら、Aの水準ごとにBの効果を調べるのが「Bの単純主効果」。
逆にBの水準ごとにAの効果を調べるのが「Aの単純主効果」。
あーややこい。とりあえず効果調べたいほうって思っとけばいい）

Q.どういうときに単純主効果の検定が必要になるのか？

A.２要因以上の分散分析で、交互作用が出たとき。
交互作用が出る＝水準ごとに効果の現れ方が違う、ってことだから、交互作用が出れば主効果の多重比較は行わない。
主効果単独で多重比較しても、他の要因の水準ごとに違う効果なら意味ないじゃん。
だから、交互作用が有意なときは主効果の多重比較は行わない。
だいじなことなので２回いいました。


まあおさらいはこれくらいにして。

依頼主の実験デザインについて聞くのを忘れた（・・・このねこあたまめ！）ので、とりあえず要因Aと要因Bの２要因分散分析で話を進めることにします。
・・・しまった対応のあり／なしぐらい聞いておくんだった（・・・このねこあたまめ！！！）。
あまりにも自分のねこあたまっぷりに自分でちょっとしょんぼりするわ。
しょうがないので、データ解析テクニカルブックに出てきた順番に検証していくことにする。
あああほすぎる自分。
あとめんどくさいのでデータ数が揃ってる場合しかやんない。
不揃いの場合についてはまた気が向いたときにでも。

あ、それと、数学としてエレガントな書き方は、文系いちげんさんにすげーわかりにくいので、あえてしぬほどどろくさく書きます。
エレガントな数式の時点で理解できるひとは、多分ちゃんとした本買って読んだほうが早いです。

では、対応ありなしなんぞを場合わけしてみていきましょうか。


１）２要因とも対応がない場合
まず誤差項に使う平均平方を計算。

誤差項に使う平均平方＝（すべての各データの平方和）－｛（要因Aの水準1のデータ総和）÷（被験者数×要因Aの水準数×要因Bの水準数）｝－－｛（要因Aの水準2のデータ総和）÷（被験者数×要因Aの水準数×要因Bの水準数）｝・・・＊要因Aの水準について全部やる

んで誤差項。

誤差項＝（平均平方）÷｛要因Aの水準数×要因Bの水準数×（被験者数－１）｝

で、交互作用が有意であったとして（分散分析の手続き省略）、

＊要因Aの単純主効果（＝要因Bの各水準におけるAの効果）
各条件ごとの平均（要因A1のときのB1、要因A1のときのB2、・・・＆要因A2のときのB1、・・・の平均値）を算出　
→各水準における平方和を計算

特定の水準（B1とか）の平方和＝[（平均値の２乗の和）－｛（平均値の和の2乗）－（Aの水準数）｝]×被験者数

→各水準における平均平方を計算

特定の特定の水準（B1とか）の平均平方＝（当該水準の平方和）÷｛（Aの水準数）－１｝

→F値の計算

F値＝（当該水準の平均平方）÷（誤差項）

あとは自由度から有意になるFの臨界値とくらべて有意になるかどうか判断するだけ。

要因Bの単純主効果はAとBの立場逆転さすわけだから省略。

対応なし計画の場合、主効果の検定に用いる誤差項と交互作用の検定に用いる誤差項がいっしょっぽいので、そーゆーときには誤差項の種類とか考えんくていいらしい。
・・・なんだいっしょけんめ考えて損した。

ちうわけで次。


２）１要因対応なし＆１要因対応ありの場合
まあ交互作用までの話はすっとばす。

んで、この計画の場合、主効果の検定に用いる誤差項と交互作用の検定に用いる誤差項が異なる場合がある。
どゆときかってーと、被験者内要因の各水準における被験者間要因の単純主効果を検定するとき。

んで、このときの誤差項について議論があるようだ。
www5e.biglobe.ne.jp/~tbs-i/psy/semi/anova/
www.psy.ritsumei.ac.jp/~hoshino/spss/simple02.html
２こめのほうでは、プールした誤差項をつかうときには球面性の仮定が問題になるって言ってるけど、そもそも球面性の仮定が成立しないなら分散分析そのまんまを使えないので（修正が必要）、そこのとこはおいとくことにする。

とりあえず選択肢は２つ。

＜1＞水準別に分割した誤差項を用いる
＜2＞プールされた誤差項を用いる

んで、われわれのバイブルであるデータ解析テクニカルブックでは＜2＞が推奨されてて、上のサイトでは＜1＞が推奨されとる。
＜1＞が推奨されるのは、ひとつには手続きが簡単だから、という点。
んで、もひとつは「検出力が＜2＞より低い」＝「第1種の過誤を少なく見積もれる」って点。
逆にいうと、チャレンジングな研究の場合は、＜2＞でもよいのではなかろーか。
ただし自由度の修正を忘るることなかれ。
じゃあそれぞれの方法を紹介しよう。

＜1＞水準別に分割した誤差項を用いる
要するに、みたいとこだけデータを抜き出してきてt検定／分散分析する。
例えば要因Aの水準A2における要因Bの効果がみたいときは、
A2におけるB1、A2におけるB2・・・を抜き出してきて検定。
ここからはふつーのt検定／分散分析なので略。

使うべき状況
・結構カタい実験デザイン（＝第1種の過誤「そんなに有意差ないのにあるって言っちゃう」をやらかしたくない）
・各条件において等分散性が成立してない

＜2＞プールされた誤差項を用いる
被験者間要因のほー（要因Aとする）の誤差項と交互作用の誤差項の平均平方をそれぞれの自由度で重み付けして平均したものを使う。
けいさんのしかた。

被験者ごとに被験者間要因のデータの平方和を出す
被験者１のデータの平方和＝被験者１のA1におけるB1＋A1におけるB2・・・とぜんぶたしたのの２乗。

→全員分その平方和を出して、（各被験者の平方和）÷（Bの水準数）を全員分合計。

→それをもとに被験者間要因のほーの誤差平方和と交互作用の誤差平方和を算出

被験者間要因のほー（要因A）の誤差平方和＝（さっきの合計）－｛（A1のデータ合計の2乗）÷（被験者数×Bの水準数）＋（A2のデータ合計の2乗）÷（被験者数×Bの水準数）・・・って要因Aの水準ぜんぶやったやつ｝

交互作用の誤差平方和＝（全部のデータの2乗の和）－｛（各条件ごとの平均＊１）で出てきたやつ＊の２乗）÷（被験者数）｝－（被験者間要因のほうの誤差平方和）

→誤差項を求める

プールされた誤差項＝｛（被験者間要因のほーの誤差平方和）＋（交互作用の誤差平方和）｝÷（自由度）

＊プールされた誤差項の自由度＝（被験者間要因の誤差平方和の自由度）＋（交互作用の誤差平方和の自由度）
被験者間要因の誤差平方和の自由度＝（被験者間要因の水準数）×（被験者数－１）
交互作用の誤差平方和の自由度＝（被験者間要因の水準数）×（被験者数－１）×（被験者内要因の水準数－１）

で、１）と同様にしてF値を求める。
ただし使用する誤差項＆自由度は↑。

多重比較についても修正が必要なんですけど、今回はそこまで依頼されてないので省略。
頼まれたら追記します。

使うべき状況
・ちっさい効果でも検出したい（＝第2種の過誤「有意差あるのにないって言っちゃう」をやらかしたくない）
・各条件における等分散性が成立してる


３）２要因とも対応がある場合
水準別の誤差項か、プールされた誤差項を用いる。
場合わけは２）の対応あり要因の水準における単純主効果の検定参照。

対応ありありな場合の誤差項のもとめかた。
→検定したいほうの要因と被験者要因の交互作用の平方和、３つ（２要因＋被験者要因）の交互作用の平方和を計算

検定したいほうの要因（要因Aとする）と被験者要因の交互作用の平方和＝｛（被験者ごとの要因Aのデータ合計の２乗）÷（要因Bの水準数）｝－｛（要因Aの水準ごとの合計の2乗）÷（被験者数×要因Bの水準数）｝－｛（被験者ごとのデータ合計の2乗）÷（要因Aの水準数×要因Bの水準数）｝＋｛（全データ合計の２乗）÷（被験者数×要因Aの水準数×要因Bの水準数）｝

３つの交互作用の平方和＝（各データの2乗の合計）－{（各条件ごとの平均の２乗）÷（被験者数）｝－｛（被験者ごとの要因Aのデータ合計の２乗）÷（要因Bの水準数）｝－｛（被験者ごとの要因Bのデータ合計の２乗）÷（要因Aの水準数）｝＋｛（要因Aの水準ごとの合計の2乗）÷（被験者数×要因Bの水準数）｝＋｛（要因Bの水準ごとの合計の2乗）÷（被験者数×要因Aの水準数）｝＋｛（被験者ごとのデータ合計の2乗）÷（要因Aの水準数×要因Bの水準数）｝－｛（全データ合計の２乗）÷（被験者数×要因Aの水準数×要因Bの水準数）｝

・・・なげえ。

→プールされた誤差項を計算

プールされた誤差項＝｛（検定したいほうの要因と被験者要因の交互作用の平方和）＋（３つの交互作用の平方和）｝÷｛（検定したいほうの要因と被験者要因の交互作用の自由度）＋（３つの交互作用の自由度）｝

検定したいほうの要因と被験者要因の交互作用の自由度＝（検定したい要因の水準数－１）×（被験者数－１）
３つの交互作用の自由度＝（検定したい要因の水準数－１）×（も１このほうの要因の水準数－１）×（被験者数－１）

多重比較、同じく修正が必要。
ただし２）と同じ理由で略。



おわかりいただけただろうか（無駄にホラーっぽい声で）。
どちらが正しいとかじゃなくて、どちらが状況に適しているか、ではないかと思う。
（ただ議論の決着はついてないようす。
興味ある御仁はリンクはったサイトの１こめの文献をお読みいただきたい。
わたしはねこあたまなのでここらへんが限界です。
もしもっと詳しいひとがここにいらっしゃったらぜひつっこんでいただきたい。
でもできればやさし～くつっこんでいただきたい。
何せあほのこなので。）


参考資料
森敏昭・吉田寿夫（1990）心理学のためのデータ解析テクニカルブック　北大路書房　京都