2010/04/21 (Wed) 分散分析の自由度まとめ

今更すぎてむしろ恥ずかしいぐらいの話。

分散分析の結果を記入するとき、F（自由度）＝F値、pが有意水準より大きいか小さいか　って表記しますよね。
そんときの自由度の計算どうなってたっけ？ってのが気になりだして気になったら昼もねむたいので（それは春だからだ）、ちょっとめも。

まず基本。
自由度のなかみは
F（条件差の自由度，誤差の自由度）
の２つ。

１要因やったら、
（条件差の自由度）＝（条件の数）－１
でおｋ。

なんで－１なん？ってひとは、はこにしまうイメージを描こう。
たとえばはこが３つあってものをそれぞれ１こずつしまうとき、どのはこにしまうか選べるのは１かいめと２かいめでしょ？
最後の１かいは、もうはこが選べない。
自由に選べる回数が自由度ってこと。

統計に即して言うと、統計では母集団の平均とか分散を推定するんやけど、母集団は知りえない。
なので
｛（各サンプルデータ）－（サンプルの平均値）｝の２乗の総和
を母分散にしたいところなんやけど、平均自体も
（母分散）／（サンプル数）
の分散を持つから、
最終的に
（母分散）＝｛（各サンプルデータ）－（サンプルの平均値）｝の２乗の総和＋（母分散）／（サンプル数）
になりますよ、と。
んで変形したら
（母分散の推定値、すなわち不偏分散）＝[｛（各サンプルデータ）－（サンプルの平均値）｝の２乗の総和]／｛（サンプル数）－１｝
になるよー、と。
分母が自由度。
んで、そもそもサンプルデータからサンプルの平均値引き算したものの総和って必ず０になるよね？
そしたら、例えばサンプルが３つあったとき、データの２つは勝手な値とってもいいけど、最後の１こは帳尻あわせで自動的に値が決まるでしょー。
だから勝手な値とれる数って（サンプル数）－１だよねって話。
うむわかりにくい。
説明ヘタでごめん。


話戻って、誤差の自由度はどうなるか。

対応がない場合は、
（誤差の自由度）＝（サンプル数－1）＊（条件数）

まあ自由度だけで考えるなら、t検定を条件数だけ繰り返すようなもん。
（実際には同一の統計的検定でt検定を繰り返すことはない。前した話なので省略）

対応がある場合は、
（誤差の自由度）＝(サンプル数ー１）＊（条件数－1）

なんで自由度が変わってくるかというと、対応のある場合ってのは「被験者の効果」があって、実験の効果との交互作用があると考えられるから。
よーするに、おんなじ被験者からとったデータは対応づけとかないと、解釈ずれちゃうかもしれないでしょってこと。

対応がなかったら、各条件において勝手にサンプル並べることもできるけど、対応があるときはサンプル並べを自由にできる回数が１回へる。
なので上の式。


２要因だったら、

主効果のF値のときは、
F（主効果の条件差の自由度，誤差の自由度）

条件差の自由度は１要因のと同じ。

対応なし・対応なしの完全無作為化要因計画なら、
（誤差の自由度）＝（１こめの要因の条件数）＊（２こめの要因の条件数）＊（サンプル数ー１）

交互作用のときは
F（交互作用の条件差の自由度，誤差の自由度）
誤差は上に同じ。
（交互作用の条件差の自由度）＝（１こめの要因の条件数－１）＊（２こめの要因の条件数－１）


１こ対応あり・１こ対応なしの分割プロット法なら、
対応なしのほうの主効果では、
（誤差の自由度）＝（対応なしの要因の条件数）＊（サンプル数－１）

対応ありのほうの主効果・交互作用はおんなじ誤差項をつかうので、
（誤差の自由度）＝（対応なしの要因の条件数）＊（対応ありの要因の条件数－１）＊（サンプル数－１）

ちなみに交互作用の条件差の自由度は上におなじ。


んで２つとも対応ありの乱塊要因計画なら、
（主効果の誤差の自由度）＝（その要因の条件数－１）＊（サンプル数－１）

（交互作用の誤差の自由度）＝（対応なしの要因の条件数－１）＊（対応ありの要因の条件数－１）＊（サンプル数－１）
と。
条件差はそれぞれ上に同じ。


なんだ、混乱してたわりには整理するとかんたんなー。
表でもつくろーかと思ったけどめんどくさいのでやめた。


あ、これぜんぶサンプル数が同じ場合ね。
数が違う場合とか３要因とかはまた今度かんがう。
３要因でもまーにたようなかんじなのでとくにかんがえなくてもいいとおもうけど。
数が違ってくる場合については他に考慮することとか増えてくるから、まあそれはまたこんど。